si \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) ne converge pas vers \(\ell\in\Bbb R\), on dit que \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) diverge
Définition :
Soit \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) une suite réelle
On dit que \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) tend vers \(+\infty\) et on écrit \(\underset{n\to+\infty}\lim u_n=+\infty\) (ou \(u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow+\infty\)) si $$\forall A\gt 0,\exists N\in\Bbb N\text{ tel que }n\geqslant N\implies u_n\geqslant A$$
Définition :
Soit \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) une suite réelle
On dit que \((u_n)_{n\to\Bbb N}\) tend vers \(-\infty\) et on écrit \(\underset{n\to+\infty}\lim u_n=-\infty\) (ou \(u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow-\infty\)) si $$\forall A\gt 0,\exists N\in\Bbb N\text{ tel que }n\geqslant N\implies u_n\leqslant-A$$
Remarque : $$\lim_{n\to+\infty}u_n={{+\infty}}\iff\lim_{n\to+\infty}(-u_n)={{-\infty}}$$
Exemple : ^[$$\begin{align}&u_n=n\text{ alors }\lim_{n+\infty}u_n=+\infty\\ &\text{en effet, si }A\gt 0,\text{ alors pour }N=E(A)+1,\text{ on a : }\\ &n\geqslant N\implies n\geqslant E(A)+1\gt A\\ &\text{donc }u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow+\infty\end{align}$$]
Proposition : - Si \(u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow\pm\infty\), alors \({{\frac1{u_n} }}\underset{n\to+\infty}\longrightarrow{{0}}\)
- Si \(u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow+\infty\) et \((v_n)_{n\in\Bbb N}\) est minorée, alors \({{u_n+v_n}}\underset{n\to+\infty}\longrightarrow{{+\infty}}\)
- Si \(u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow-\infty\) et \((v_n)_{n\in\Bbb N}\) est majorée, alors \({{u_n+v_n}}\underset{n\to+\infty}\longrightarrow{{-\infty}}\)
- Si \(u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow+\infty\) et \((v_n)_{n\in\Bbb N}\) est minorée par \(\lambda\gt 0\), alors \({{u_nv_n}}\underset{n\to+\infty}\longrightarrow{{+\infty}}\)
- Si \(u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow0\) et \(u_n\gt 0\) pour \(n\) sufisamment grand, alors \({{\frac1{u_n} }}\underset{n\to+\infty}\longrightarrow{{+\infty}}\)
Démonstration de 2. ^[$$\begin{align}&(v_n)_{n\in\Bbb N}\text{ est minorée. Donc il existe }m\in\Bbb R\text{ tel que }\forall n\in\Bbb N,v_n\geqslant m\\ &\text{soit }A\gt 0\\ &\text{comme }u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow+\infty,\text{ il existe }N\in\Bbb N\text{ tel que}\\ &n\geqslant N\implies u_n\geqslant A+\max(-m,0)\\ &\implies u_n+v_n\geqslant A+\max(-m,0)+m\geqslant A+m-m=A\end{align}$$]
Remarque : \(u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow+\infty\) si et seulement si $$\forall A\in\Bbb R,\exists N\in\Bbb N\text{ tel que }n\geqslant N\implies u_n\gt A$$
Démonstration (?) ^[$$\begin{align}&\text{en effet, supposons que}\\ &\forall A\gt 0,\exists N\in\Bbb N\text{ tq }n\geqslant N\implies u_n\gt A\\ &\text{soit }B\in\Bbb R\\ \text{1er cas : }&B\gt 0:\exists N\in\Bbb N,n\geqslant N\implies u_n\geqslant B\\ \text{2e cas : }&B\leqslant0 :\text{ on sait qu'il existe }n\in\Bbb N\text{ tel que }n\geqslant N\implies n\geqslant1\implies n\geqslant B\end{align}$$]
Formes indéterminées